Экстремумы представляют собой критические этапы в поведении функции. Мы различаем между абсолютными (глобальными)—наивысшей точкой или самой низкой точкой на всей области определения—и локальными—точками, которые выше или ниже своих ближайших соседей. Эти точки являются основными целями при оптимизации физических систем, от траектории ракеты до минимизации расхода топлива.
1. Формальные определения экстремумов
Определение 1: Абсолютные экстремумы
Пусть $c$ — число из области определения $D$ функции $f$.
- $f(c)$ — это абсолютный максимум если $f(c) \ge f(x)$ для всех $x$ из $D$.
- $f(c)$ — это абсолютный минимум если $f(c) \le f(x)$ для всех $x$ из $D$.
Определение 2: Локальные экстремумы
$f(c)$ — это локальный максимум (или минимум), если $f(c) \ge f(x)$ (или $f(c) \le f(x)$), когда $x$ находится вблизи $c$.
2. Обеспечение существования: Теорема об экстремальных значениях (EVT)
Найти решение возможно только тогда, когда оно существует. Теорема об экстремальных значениях гарантирует: если $f$ является непрерывной на замкнутом интервале closed interval $[a, b]$, то $f$ должна достигает как абсолютного максимума, так и абсолютного минимума.
Рассмотрим контраст в трансцендентных функциях:
- Пример 1 (периодическая): $f(x) = \cos x$ достигает своего абсолютного максимума 1 бесконечно много раз (при $x = 2n\pi$).
- Пример 3 (степенная): $f(x) = x^3$ (на $(-\infty, \infty)$) не имеет никаких экстремумов вообще, поскольку она возрастает и убывает без ограничений.
3. Симметрия и рост
Если $f(-x) = f(x)$, то функция является чётной и симметричной относительно оси $y$. Это означает, что если локальный минимум происходит при $x = 2$, то такой же минимум должен существовать при $x = -2$. Это видно на примере $f(x) = x^2$ (Пример 2), где $f(0) = 0$ является как локальным, так и абсолютным минимумом.
🎯 Основной принцип
Чтобы найти абсолютные экстремумы на $[a, b]$, вычислите функцию для всех критических чисел внутри интервала и на конечных точках $a$ и $b$. Наибольшее значение — это абсолютный максимум, наименьшее — абсолютный минимум.